Corrente e Resistência Elétrica¶
Lista de exercícios do professor Adameck Guimarães usando Python.
Bibliotecas e métodos que serão usados neste notebook¶
import scipy as sc
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.misc
import math
#Método para gerar os gráficos
def grafico(titulo, x, y, cor, legX, legY):
plt.title(titulo)
plt.plot(x,y,cor)
plt.xlabel(legX)
plt.ylabel(legY)
return plt
Questão 1¶
A carga que atravessa a seção reta de um condutor é dada por: $$q = q_{0}+at^2$$ onde $q_{0} = 0,05 C$, $a=0,02 C \cdot s^{-2}$ e $t$ é dado e segundo. Determine: (a) a expressão da corrente em função do tempo e (b) o valor da corrente para $t=2s$.
Resolução¶
a) Para a expressão da corrente, temos: $$i = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} \therefore i = 2at$$
# Função dada para a carga
def q(t):
q0 = 0.05
a = 0.02
return q0+a*t*t
# Gera vetor de tempo
t = np.arange(0,10,0.1)
#Gráfico de q(t)
grafico("Gráfico de q(t)", t, q(t), 'r', 'Tempo [s]', 'Carga [C]').show()
b) Resposta pedida para t = 2:
#Resposta pedida
q0 = 0.05
a = 0.02
t = 2
print("Para t = 2, i =",2*a*t, "A")
# Gera vetor de tempo
t=np.arange(0,10,0.1)
# i=dq/dt
i = sc.misc.derivative(q, t, dx=1e-6)
grafico("Gráfico de i(t)", t, i, 'r', 'Tempo [s]', 'Corrente [A]').show()
Questão 2¶
Quando um certo capacitor é descarregado, sua carga varia em função do tempo de acordo com a relação $$q=q_0 e^{-bt}$$ onde $q_0 = 0,02C$, $b=4s^{-1}$ e $t$ é dado em segundos. Determine (a) a expressão da corrente em função do tempo e (b) o módulo da corrente para $t=0$, $t=0,25s$, $t=10s$ e $t=1 hora$.
Resolução¶
a) Para a corrente, temos $$i = \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} \therefore i = -b \cdot q_0e^{-bt}$$
def q(t):
q0 = 0.02
b = 4
return q0*np.exp(-b*t)
# Gera vetor de tempo
t=np.arange(0,3,0.1)
# i=dq/dt
i = sc.misc.derivative(q, t, dx=1e-6)
grafico("Gráfico de i(t)", t, i, 'r', 'Tempo [s]', 'Corrente [A]').show()
b) A partir da expressão em (a), teremos:
def i(t):
b = 4
q0 = 0.02
return -b*q0*math.exp(-b*t)
#Valores pedidos para t:
#t deve ser em segundos, então 1h são 3600s.
T = [0, 0.25, 10, 1*60*60]
for t in T:
print("|i("+str(t)+")| =", abs(i(t)), "A")
Questão 3¶
A corrente que flui através da seção reta de um condutor é dada por: $$i=i_0+at$$ onde $i_0=2A$,$a=0,04s^{-1}$ e $t$ é dado em segundos. Determine (a) a expressão da carga que atravessa a seção reta e (b) o valor da carga para $t=1s$ e para $t=10s$.
Resolução¶
a) A carga que atravessa a seção reta será dada por $$\Delta q=\int i {\mathrm{d} t} = \int (i_0+at) {\mathrm{d} t}\\ \therefore \Delta q=i_0t+\frac{at^2}{2}$$ b) Utilizando a expressão acima, teremos:
def deltaQ(t):
i0 = 2
a = 0.04
return i0*t+((a*t*t)/2)
print("Δq(1) =", deltaQ(1), "C")
print("Δq(10) =", deltaQ(10), "C")
Questão 4¶
A correia de um gerador eletrostático tem $50 cm$ de largura e move-se com uma velocidade de $30 m\cdot s^{-1}$, transportando cargas à razão de $10^{-4} Coulombs$ por segundo. Qual a densidade superficial de carga na correia?
Resolução¶
A quantidade de carga é dada por $$\Delta q=\sigma A \Rightarrow \Delta q=\sigma lx$$ Tomando a taxa de variação no tempo, teremos: $$\frac{\Delta q}{\Delta t}= \sigma \cdot l \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow i=\sigma lv$$ Dessa expressão: $$\sigma = \frac{i}{lv}$$
i = 0.0001 #10^-4
l = 0.5 #50cm em m
v = 30
print("σ = ",i/(l*v),"C.m^(-2)")
Questão 5¶
A resistência de um fio de ferro é $5,9$ vezes a de um fio de cobre com as mesmas dimensões. Qual deve ser o diâmetro de um fio de ferro para que tenha a mesma resistência de um fio de cobre de $0,12 cm$ de diâmetro, admitindo que ambos os fios tenham o mesmo comprimento?
Resolução:¶
Tomando a relação $$R=\frac{\rho l}{A}$$ poderemos escrever: $$\rho_{Fe}=5,9\rho_{Cu}.$$ Logo, para termos a mesma resistência, teremos: $$\frac{\rho_{Fe}l}{\frac{\pi \cdot d^{2}_{Fe}}{4}}=\frac{\rho_{Cu}l}{\frac{\pi \cdot d^{2}_{Cu}}{4}} \Rightarrow \frac{\rho_{Fe}}{d^{2}_{Fe}}=\frac{\rho_{Cu}}{d^{2}_{Cu}} \Rightarrow d_{Fe} = \sqrt{\frac{d^{2}_{Cu} \cdot \rho_{Fe}}{\rho_{Cu}}}$$
print("dFe =", math.sqrt(0.12*0.12*5.9), "cm")
Questão 6¶
Numa linha de transmissão utiliza-se uma quantidade total de fios de cobre equivalente a um fio único de 100 km de comprimento. Suponha que os fios possuam o mesmo diâmetro (igual a 2,0 mm). (a) Encontre o diâmetro do fio de alumínio, sem alterar a resistência total dos 100 km de fio. (b) Sabemos que $d_{Cu} = 3,3d_{Al}$, onde $d_{Cu}$ é a massa específica do cobre e $d_{Al}$ a do alumínio. Seja x o preço do kg do alumínio. Suponha que o preço do kg do cobre seja igual a 1,3x; verifique se é mais econômico utilizar fios de cobre ou fios de alumínio na referida linha de transmissão. Suponha que os fios sejam cilindros maciços. (c) A resposta obtida em (a) e em (b) é independente, ou depende, da extensão total da linha de transmissão?
Resolução¶
a) Utilizando a relação $R = \frac{\rho l}{A}$, teremos: $$\frac{\rho_{Cu}l}{\pi D^{2}_{Cu}}=\frac{\rho_{Al}l}{\pi D^{2}_{Al}} \therefore D_{Al}=\sqrt{\frac{D^{2}_{Cu}\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}}$$ Sendo $\rho_{Cu} = 1,7 \cdot 10^{-8}\Omega \cdot m$ e $\rho_{Al} = 2,8 \cdot 10^{-8}\Omega \cdot m$:
DCu = 2*10e-3
DAl = math.sqrt((DCu*DCu*(2.8*10e-8))/(1.7*10e-8))
print("DAl =", DAl, "m")
print("DAl =", DAl*100, "mm")
b) Utilizando as massas específicas, teremos: $$\frac{m_{Cu}}{V_{Cu}}=\frac{3,3m_{Al}}{V_{Al}}$$ Os fios possuem a mesma extensão, mas não os mesmos diâmetros, conforme indica o resultado de (a). Assim, da relação acima, teremos: $$m_{Cu}=3,3m_{Al}\left (\frac{D_{Cu}}{D_{Al}}\right )^2$$
print("mCu =",3.3*(DCu/DAl)*(DCu/DAl),"mAl")
Dessa forma, (c) para qualquer trecho de transmissão, ao se substituir cobre por igual extensão de alumínio, deve-se utilizar aproximadamente o dobro de massa do alumínio, o que torna mais econômico a utilização de cobre.
Questão 7¶
Ligam-se em série dois condutores A e B, tendo comprimentos iguais a 40 m e as áreas de seção transversal de 0,10 $m^2$. Um potencial de 60 V é aplicado através dos extremos de ligação dos dois condutores. As resistências dos condutores são 40 e 20 $\Omega$, respectivamente. Determine (a) as resistividades dos dois condutores; (b) a intensidade do campo elétrico em cada condutor; (c) a densidade de corrente em cada condutor; (d) a diferença de potencial aplicada entre os extremos de cada condutor.
Resolução¶
a) Utilizando a relação $R = \frac{\rho l}{A}$, podemos escrever para os condutores A e B, a seguinte relação: $$\rho=\frac{R\cdot A}{l}$$ e então teremos:
print("ρA =", 40*0.10/40,"Ω⋅m")
print("ρB =", 20*0.10/40,"Ω⋅m")
b) Levando em consideração que a ligação dos condutores é em série, teremos: $$\frac{V_A}{R_A}=\frac{V_B}{R_B}\Rightarrow V_A=2V_B$$ E com relação ao potencial: $$V_A+V_B=60$$ Fazendo das equações acima um sistema, obtemos (resposta ao item (d)): $$\left\{\begin{matrix} V_A & - 2V_B & = 0\\ V_A& +V_B & = 60 \end{matrix}\right.\Rightarrow V_A = 40V \textrm{ e } V_B = 20V$$ Pode-se considerar que o campo elétrico no interior do condutor é praticamente uniforme. Assim, para os respectivos condutores, teremos para o campo elétrico: $$E_A=\frac{V_A}{l_A}=1V\cdot m^{-1} \textrm{ e } E_B=\frac{V_B}{l_B}=0,5V\cdot m^{-1}$$ c) Como a ligação é em série, usando os resultados obtidos em (a) e (b), teremos: $$j_A=j_B=\frac{E_B}{\rho_B}$$
print("jA = jB =", 0.5/0.05, "A⋅m^(−2)")
Questão 8¶
Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto, como mostra a figura abaixo. Os raios das bases são a e b, e a altura l. Se a inclinação for suficientemente pequena, podemos supor que a densidade de corrente é uniforme através de qualquer seção transversal. Calcule (a) a resistência deste sistema e (b) mostre que o resultado de (a) se reduz a $\frac{\rho l}{A}$ para o caso especial onde $a = b$, ou seja, para um cilindro.
Resolução¶
Considerando a densidade de corrente uniforme, podemos utilizar a relação $R = \frac{\rho l}{A}$, porém em sua forma infinitesimal. Considere a figura abaixo:
O elemento infinitesimal representado em verde possui uma resistência dada por: $$dR = \frac{\rho dx}{\pi y^2}$$ No entanto, precisamos de uma relação entre x e y, que são a posição e raio do elemento infinitesimal, respectivamente. Observando a figura acima, podemos utilizar os dois triângulos (o vermelho e o azul) e aplicar a semelança de triângulos. Teremos deste modo: $$\frac{b-a}{l}=\frac{y-a}{x}$$ Utilizando a última expressão, a anterior a esta se torna: $$dR=\frac{\rho l^2}{\pi[x(b-a)+la]^2}dx$$ Em seguida, podemos integrar para os limites $0 \leq x \leq l$. No entanto, pode-se utilizar a variável y em vez de x: $$\frac{dy}{dx}=\frac{b-a}{l}\Rightarrow dx=\frac{l}{b-a}dy \\ \therefore dR = \frac{\rho l}{b-a}\cdot \frac{dy}{\pi y^2}$$ Quando x varia de 0 a l, y varia de a até b. Efetuando a integração, teremos: $$R=\frac{\rho l}{(b-a)\pi}\int_{a}^{b} \tfrac{dy}{y^2} \\ \therefore R=\frac{\rho l}{\pi ab}$$ Para a = b, temos então a relação que já conhecemos de $R = \frac{\rho l}{A}$.
Questão 9¶
Seja $\alpha^{'}$ o coeficiente de temperatura da resistência. Por analogia com a equação: $$\alpha=\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d \rho}{dT}\textrm{,}$$ (a) escreva uma relação com $\alpha^{'}$; e (b) obtenha uma relação entre o coeficiente de temperatura da resistência $\alpha^{'}$ e o coeficiente de temperatura da resistividade $\alpha$. (c) Em que condições podemos considerar $\alpha^{'}=\alpha$?
Resolução¶
a) $$\alpha^{'}=\frac{1}{R}\cdot \frac{dR}{dT}$$ b) Usando da relação $R = \frac{\rho l}{A}$, temos: $$\frac{dR}{dT}=\frac{d\rho}{dT}\cdot \frac{l}{A}+\rho \cdot \frac{d}{dT}\left ( \frac{l}{A} \right )$$ Utilizando a expressão obtida em (a): $$\alpha^{'}=\alpha+\frac{\rho}{R}\cdot \frac{d}{dT}\left ( \frac{l}{A} \right )$$ c) Se a variação das dimensões do resistor, com relação à temperatura, for desprezível, ou seja, $\frac{d}{dT}\left ( \frac{l}{A} \right )=0$, então $\alpha^{'}=\alpha$.
Questão 10¶
Seja $\rho_0$ a resistividade de um material quando a temperatura é dada por $T_0=20°C$. (a) Use a relação $\alpha=\frac{1}{\rho}\cdot \frac{d \rho}{dT}$ para obter uma expressão da resistividade $\rho$ em função da temperatura T (em °C). Suponha que o coeficiente $\alpha$ não se altere com a variação da temperatura. (b) Deduza uma expressão aproximada para a determinação da sesistividade em função da temperatura.
Resolução¶
a) Utilizando a relação dada no enunciado e considerando que o coeficiente $\alpha$ não sofra alterações, podemos escrever: $$\alpha \int_{T_0}^{T}\mathrm{d}T=\int_{\rho_0}^{\rho}\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}\Rightarrow \alpha\Delta T=\ln \rho - \ln \rho_0 \Rightarrow \rho = \rho_0e^{\alpha(T-T_0)}$$ b) Seja a seguinte aproximação: $$e^{\alpha(T-T_0)}\cong 1+\alpha(T-T_0)+...$$ Utilizando-a no resultado obtido em (a), teremos: $$\rho \cong \rho_0[1+\alpha(T-T_0)]$$
Questão 11¶
Quado se aquece uma barra de metal, varia não somente a sua resistência, mas também o seu comprimento e a área de sua seção reta. A relação $R = \frac{\rho l}{A}$ sugere que todos os três fatores devem ser levados em conta, na medida de $\rho$ em temperaturas diferentes. Determine a variação percentual da resistência R em função das variações percentuais de $\rho$, de l e de A. O coeficiente de expansão linear do cobre é igual a $1,7\cdot 10^{-3}°C^{-1}$. Verifique se para o cobre é razoável fazer a aproximação $\alpha^{'}=\alpha$. (Reveja a Questão 9).
Resolução:¶
Seja a expressão dada no item (b) da Questão 9: $$\frac{dR}{dT}=\frac{d\rho}{dT}\cdot \frac{l}{A}+\rho \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}T}\left ( \frac{l}{A} \right )$$ Tomando a variação para o termo da segunda parcela, teremos: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}T}\left(\frac{l}{A}\right)=\frac{1}{A^2}\left[A\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T}-l\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}\right]$$ Substituindo na expressão dada no item (b) da Questão 9: $$\frac{dR}{dT}=\frac{d\rho}{dT}\cdot \frac{l}{A}+\rho \left [ \frac{1}{A^2}\left(A\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T}-l\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}\right) \right ] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}=\frac{\rho l}{A}\cdot \frac{1}{\rho}\cdot \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}T}+\frac{\rho l}{A}\cdot \frac{1}{l}\cdot \frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T}-\frac{\rho l}{A}\cdot \frac{1}{A}\cdot \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T} $$ Em que $\frac{1}{\rho}\cdot\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}T}=\alpha$; $\frac{1}{l}\cdot\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}T}=\alpha_{lin}$ e $\frac{1}{A}\cdot\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T}=2\alpha_{lin}$. Assim, a expressão acima assume a seguinte forma: $$\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}=R[\alpha=\alpha_{lin}]$$ Utilizando a informação do enunciado e os dados obtidos: $$\frac{1}{R}\cdot \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}= 2,2 \cdot 10^{-3}°C^{-1}$$ Em que $\alpha_{Cu}=3,9\cdot 10^{-3}°C^{-1}$.